Inversion Transformation

本文內容摘自筆者 1090315 梯次小論文甲等作品 - 反演變換
指導老師：國立嘉義高中 數學科 蔡東霖老師

在一次高中數學課上，老師補充了課外的數學知識──反演變換（inversion transformation），回家自行上網查詢了資料後，發現反演變換是一種簡單的幾何變換方式，其應用十分廣泛，對於許多以古典幾何求解會十分繁瑣的問題，使用反演變換即有簡短而清晰的解決方式。讓我們一起來看看吧～

反演變換定義

於平面上給定一參考點 與反演圓半徑 ，對於平面上任意點 存在點 使 ，則稱點 為點 之反演點。

• 座標平面定義反演函數 為反演點

反演變換作圖

點反演

令欲反演點為 ：

• 點在圓外
  
  過點 對圓 作二切線，切點之連線與 連線交點即為 之反演點 所在。

• 點在圓上
  即為原 點。

• 點在圓內
  
  對 做垂線，設其交圓於 兩點，對點 或 做切線，設其交 於 ，則 即為點 之反演點。

線反演

單參考點大圓為給定圓，多參考點小圓為反演圓，直線為參考線

利用點反演重複實作即可實作線反演～

• 線在圓外
  

• 線切圓
  

• 線交圓於兩點
  

• 線過參考點
  

圓反演

作參考圓

多參考點大圓為給定圓，多參考點小圓為反演圓，單參考點大圓為參考圓

• 圓外離
  

• 圓外切
  

• 圓交於兩點
  

• 圓內接
  

• 圓內離
  

反演變換常用性質

以下令函數 為反演變換函數。

重要性質:

• 令 為一動點， 為其之反演點
  1. 在圓內 在圓外
  2. 在圓外 在圓內
  3. 在圓上 在圓上
• 設 ，則
  
• 圓反演比較
  令 為參考點
  • 為過 直線 為過 直線
    
  • 為不過 直線 為過 圓
    
  • 為過 圓 為不過 直線（與二相反）
    
  • 為不過 圓 為不過 圓
    

證明題

使用反演變換證明托勒密定理 (Ptolemy thm)

已知：ABCD為(凸)四邊形，則
“”成立時，ABCD為圓內接四邊形

證明

根據反演變換常用性質，令 為反演變換函數，已知
令 ，則根據三角形三邊長定理：

“”成立時 共線（不過 點 ∵ 不共線）
共圓，故得證#

反演變換證明阿波羅里斯問題 (Apollonius Problem)

歷史簡述

阿波羅里斯著有《論相切》，其中一問題提到：

已給三個元素, 每個元素為點、直線或圓之一種。求作一圓, 過已知點（若元素中存在點）, 且與已知直線或圓相切。

後人將其中最難的問題：求一圓與已知三圓相切的問題，稱為阿波羅里斯問題（Apollonius Problem）

證明

對於此問題，前人已歸納出許多解法證明之並求解，使用反演變換證明的文獻資料亦有之，但記錄到如何使用反演變換證明的方法者極少，故以下說明自我整理的簡易想法：

1. 給定三圓後，每一圓與欲求圓之相切情況皆有兩種：內接與外切，根據排列組合原理可求出，故此問題共有 解
2. 反演變換時，經由特殊技巧，將原有之固定圓半徑進行適當伸縮，此時作反演變換時，便能正確選擇反演圓而進行反演變換，接著因反演變換將不過反演中心 直線化為圓的特性，因此將外公切線與內公切線結合後再反演變換一次，便能求出阿波羅里斯問題的解。根據我的解法，針對最小圓作變換與作圖，共有 種方法會各作出 個符合解，因此共有 解

以下說明證明求解過程：

以下示意圖中，橘線標註者為原圓、紅線標註者為反演變換後圓、粗線標註者為最終解圓

1. 給定任意不相交三圓，設其中最小圓半徑為
2. 以最小圓半徑為標準，使最小圓半徑縮為一點，進行以下伸縮：
   • 除最小圓外，其餘 圓半徑縮小 單位
     • 利用其餘兩圓對最小圓（已縮為點，反演半徑任意）做反演變換，得 圓，作其二外公切線，再將其對原反演圓作一次反演變換，分別以其反演後圓心作半徑伸縮，即可得原三圓之同時外切與同時內接圓
       
   • 除最小圓外，其餘 圓一半徑縮小 單位，一半徑伸長 單位
     • 利用其餘兩圓對最小圓（已縮為點，反演半徑任意）做反演變換，得 圓，作其二內公切線，再將其對原反演圓作一次反演變換，分別以其反演後圓心作半徑伸縮，即可得原三圓之外切內接圓
       
   • 除最小圓外，其餘 圓一半徑伸長 單位，一半徑縮短 單位
     • 利用其餘兩圓對最小圓（已縮為點，反演半徑任意）做反演變換，得 圓，作其二內公切線，再將其對原反演圓作一次反演變換，分別以其反演後圓心作半徑伸縮，即可得原三圓之外切內接圓
       
   • 除最小圓外，其餘 圓半徑伸長 單位
     • 利用其餘兩圓對最小圓（已縮為點，反演半徑任意）做反演變換，得 圓，作其二外公切線，再將其對原反演圓作一次反演變換，分別以其反演後圓心作半徑伸縮，即可得原三圓之外切內接圓
       

以上範例之實作情況如下（此為個人定義，若定義圓其他半徑則須依照以上重新定義、實作、驗證）
（外切為：，內接為：）

上述方法	1	1	2	2	3	3	4	4
圓一(小者)
圓二(中者)
圓三(大者)

結論

反演變換是一個強大的幾何變換工具，其可將古典幾何需複雜作出的幾何問題化繁為簡，使用簡單的證明法成功求解。在自行發想利用反演變換證明的阿波羅里斯問題 (Apollonius Problem) 中，更使用了反演變換的技巧成功證明出符合問題的所有解。

反演變換有許多獨特的變換模式，在此模式下所建立的圓與直線是有互通性的，這種性質能使幾何變換更加的靈活，能應用的範疇也就更加廣泛、多元。我現今所研究的，或許只是反演變換中的冰山一角，也期待在日後所學更多時，能夠再繼續探討更多屬於反演變換的性質，並應用得更加靈活。